题目

{% fold 点击显/隐题目 %}

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？ 小Hi：你自己有什么想法么？ 小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。 小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。 小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。 写成伪代码为： 
isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		multiple = 2
		While (i * multiple ≤ N)
			isPrime[i * multiple] = false
			multiple = multiple + 1
		End While 
	End If
End For

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。
小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？
小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。
提示：Eular质数筛法

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。
第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数
9
4
{% endfold %}

题解

模板题

代码

{% fold 点击显/隐代码 %}```cpp 线性筛 https://github.com/OhYee/sourcecode/tree/master/ACM 代码备份
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1000005;

int prime[maxn], num_prime;
bool isNotPrime[maxn];

void PRIME(int n) {
num_prime = 0;
memset(prime, 0, sizeof(prime));
memset(isNotPrime, false, sizeof(isNotPrime));
isNotPrime[0] = isNotPrime[1] = true;

for (long i = 2; i < n; i++) {
    if (!isNotPrime[i])
        prime[num_prime++] = i;
    for (int j = 0; j < num_prime && i * prime[j] < n; j++) {
        isNotPrime[i * prime[j]] = true;
        if (!(i % prime[j]))
            break;
    }
}

}

int main() {
int n;
PRIME(maxn-2);

while (scanf("%d", &n) != EOF)
    printf("%d\n", upper_bound(prime, prime + num_prime, n) - prime);
return 0;

}

{% endfold %}